İnteqral

3. İbtidai funksiya . İbtidai funksiyanın əsas xassələri

İnteqrallama, törəməsi məlum olan funksiyanın axtarılması əməlidir. Bu mənada, inteqrallamanın doğruluğu diferensiallama ilə yoxlanılır.

Tərif. Verilmiş C aralığının bütün nöqtəlrində bərabərliyi ödənilirsə, F(x) fueksiyasına C aralığında f(x) funksiyasının ibtidai funkiyası deyilir.

Məsələn, F(x)= x⁴/4 funksiyası aralığında f(x)=x³ funksiyasının ibtidai funksiyasıdır. Doğrudanda üçün

odənilir.

Çətinlik çəkmədən müəyyən etmək olar ki, həmçinin F(x)=(x⁴/4)+18 funksiyasının da həmin aralıqda törəməsi f(x)= x³ funksiyasına bərabərdir. Yəni (x⁴/4)+18 funksiyası da f(x)= x³ funksiyasının bu aralıqda ibtidai funksiyasıdır. Əlbəttə burada 18 yerinə sadəcə olaraq istənilən c sabit ədədini (sabitin törəməsi sıfıra bərabərdir) yaza bilərik və yenə də F(x)=(x⁴/4)+C funksiyası f(x)= x³ funksiyasının ibtidai funksiyası olar. Bu onu göstərir ki, ibtidai funksiyanın tapılması heçdə birqiymətli olaraq həll oluna bilmir.

İnteqrallamanın əsas məsələlərindən biri, verilmiş funksiyanın bütün ibtidai funksiyalarını tapmaqdan ibarətdir. Bu məsələnin həlli funksiyanın sabitlik əlaməti ilə sıx surətdə bağlı olduğundan, əvvəlcə aşağıdakı teoremi isbat edək.

Teorem (funksiyanın sabitlik əlaməti). Verilmiş aralıqda F(x) funksiyasının sabit olması üçün zəruri və kafi şərt onun törəməsinin bu aralıqda sıfır olmasıdır.

∆ Zərurilik. F(x) funksiyası verilmiş aralıqda sabitdirsə sabitin törəməsi teoreminə görə

olması aydındır.

Kafilik. Verilmiş aralıqda olduğunu qəbul edərək göstərək ki, funksiya bu aralıqda sabitdir. Verilmiş aralığın ixtiyari x₀ nöqtəsini qeyd edək. Laqranc teoreminə görə bu aralıqdan götürülmüş istənilən x ilə x₀ arasında yerləşən elə c nöqtəsi vardır ki,

doğrudur.

x və x₀ nöqtələri arasında yerləşmiş c nöqtəsi də verilmiş aralığın nöqtəsidir və şərtə görə istənilən bu cür nöqtə üçün olduğundan

F(x) funksiyası aralığın istənilən x nöqtəsində F(x₀) bərabər qiymət alır. Deməli o sabit funksiyadır.